不可思e——揭开宇宙面纱的一角  

　　文/刘艳增 

　　一、植物中的“黄金螺线” 

　　有人观察了大自然中的一些植物，它们的花瓣、叶子或者种子的排列，是以一种优美的螺旋线方式存在。 

　　曾有一种说法，这样的排列方式，体现了神奇的“黄金分割率”在自然中的鬼斧神工。 

　　人们观察到，这些植物的新叶片与上一个叶片之间的夹角恒为222.5°，这个角度与圆周的比值恰好等于“黄金分割率”：222.5/360≈0.618。 

　　你可以做一个简单的计算：按照这个夹角排列的叶子，一直到第22片才会与第一片的方向发生重叠；而其他任何角度的排列，都会在第22片之前就发生了重叠。 

　　222.5°这个夹角使所有叶子最大程度地利用了太阳光的能量。 

　　对一些多肉类植物来说，它新的生长原基并不会挡住老原基的阳光，为什么也会按照“黄金分割”的角度来生长？ 

　　这一次是因为养分。 

　　除了阳光，原基最重要的生长资源就是来自根茎的养分。作为一个自相似的新原基（注意自相似的概念出现了），它在多肉植物的顶部发端，那它的胚基应该如何选择长出的位置，才能最有效地利用养分？ 

　　形象地说，它应该出现在最不拥挤的那个位置。最不拥挤，意味着此处可供新原基利用的养分最多，你可以形象地把这种状态理解成一种斥力——四周老原基对新原基的斥力，斥力的平衡点就是那个最不拥挤的地方，新的胚基就会在那里出现。 

　　除了阳光和养分，一切生长资源都会对生长产生制约，这种制约使植物们的进化目标变得很明确——最有效率地利用这些资源。在这个大目标下，植物进化出围绕着生长资源进行“黄金分割”排列的叶子、花瓣和种子。而“黄金分割”排列对应的那条螺旋线，被称作“黄金螺线”。至于以前被用来解释这个现象的“斐波那契螺线”，只是“黄金螺线”的一个近似。“黄金螺线”是“等角螺线”的一个特例，它是这样一种特殊的“等角螺线”——每当极角增加90°，极径增加到原来的1.618倍。 

　　二、等角螺线和“飞蛾扑火” 

　　“等角螺线”的形式在大自然中更是随处可见。 

　　假如此刻的你，正行走在距南极点100公里的冰原上，你的一个队友在南极点处等待救援。除了指南针之外，你没有任何导航手段。不巧的是你的指南针失灵了，它恒偏离地磁场方向一个锐角，但你并不知道这一点。那么，指南针最终会把你导向哪里？你可怜的队友还有救吗？ 

　　在这个例子中，让我们忽略地理南极和地磁北极（在地理南极附近）的微小偏离，认为它们处于同一个位置。 

　　答案出乎意料却能够被情理所接受——你最终仍会到达南极点，只是多走了一段路。事实上在这个过程中，你的行进路线和地球的经线始终保持着那个锐角，你会走出一条以南极点为原点的螺旋线。 

　　这条螺旋线，就叫作等角螺线。 

　　等角螺线不光出现在上面这个例子里，比较经典的还有对“飞蛾扑火”的解释。《西游记·三打白骨精》一节，唐僧教训孙悟空时曾说：“扫地休伤蝼蚁命，爱惜飞蛾纱罩灯。”以此表达对万物生灵的仁爱之心。三毛也在《撒哈拉的故事》里感慨：“我在想，飞蛾在扑火时，一定是极快乐幸福的。”一直以来，“飞蛾扑火”被错误地归因于昆虫的“趋光性”本能。可怜的飞蛾们在壮烈赴死中被弄错了死因，也赚取了太多的怜悯和感动。 

　　可是，如果“趋光性”是正确的，为什么在白天的时候没有大批飞蛾飞向太阳？ 

　　其实，“飞蛾扑火”的真正原因，是它亿万年进化形成的导航系统。一只飞蛾最节省能量的飞行方式，自然是直线飞行。那么，它要以什么为参照，才能知道自己是在飞直线？ 

　　答案是太阳光或星光。由于距离遥远，太阳光和星光可以被看作是平行光。如果飞蛾总是与这两种光形成固定夹角飞行，那么它的本能就会判断：我是在直线前进。问题是当飞蛾遇见火，这些近距离的点光源发出的并不是平行光，但可怜的飞蛾并不知道这一点，它仍会在导航系统的作用下按固定夹角飞行。和你在南极冰原的结果一样，它也会行进出一条螺旋线，最后一头撞在光源上。这条螺旋线也是以光源为原点的等角螺线。 

　　对飞蛾夜间的观察，清晰地验证了这个解释。 

　　三、等角螺线的“自相似性”来自于“e” 

　　想象你自己是一只可爱的鹦鹉螺宝宝，从卵中的胚胎开始慢慢长大。你一边长大，一边要扩建自己的房子。你要把新接出来的一段房子，造得和老的一段房子一模一样，因为你的肢体尺寸虽然在增大，但样子却没有变——说白了，你的成长具有自相似性。于是最终，你的房子就变成图上的形状。 

　　这又是一条等角螺线。 

　　那到底为什么自相似地成长模式就需要把房子造成等角螺线的样子呢？ 

　　因为等角螺线是一种具有“自相似性”的螺线，而且是唯一具备这种性质的螺旋线。用数学语言描述就是：放大这条曲线，得到的是它自身；缩小这条曲线，得到的还是它自身。实际上，无论是放大、缩小或是求导，无论是求它的渐屈线、垂足线还是对它进行反演，最终得到的曲线仍然是它自身。 

　　这个自相似的特性来自于它的数学表达式：r=aebθ，这是一个指数函数。因为eθ项的存在，你无论用上述的哪种方式折腾公式的右边，数学表达式都不变——eθ就是所有具有“自相似性”生长模式的老祖宗。 

　　有人会问，做一个直线形的类似喇叭一样的壳，不也是自相似的吗？应该也能满足鹦鹉螺的生长啊？这样的房子的确曾被某些软体动物选择过，但大都因为行动不便和耗材太多，慢慢被进化的剪刀剔除，所有存留下来的几乎都是螺线形。等角螺线因此被称为“生长螺线”。 

　　17世纪的瑞士著名数学家雅可布·伯努利曾对等角螺线进行了毕生的研究。他对它如此痴迷和厚爱，以至于要求后人在自己的墓碑上刻下了这样的座右铭——“纵然改变，依然故我。”用来描述等角螺线那神奇的自相似性质。悲催的是，雕刻墓碑的工匠却把等角螺线刻成了阿基米德螺线，这成为伯努利乃至数学史上永久的遗憾。 

　　四、“e”从何来 

　　从鹦鹉螺的例子，我们大概可以揣摩出自然增长的规律，并且这个规律隐隐约约和“e”有关。 

　　它不是一种以时间为变量的线性增长，而是一种指数增长。它的“增长率”不是固定的，而是与当下的存量息息相关，换句话说，它的增长率等于当前值乘以一个固定倍数。而如果这个倍数是1时，它的导数就是它自身，那么这个时候指数函数的底应该是多少呢？ 

　　这个底必须等于一个重要极限的值。这个重要极限就是lim(1+1/n)n(n→∞)，而它的值就是e≈2.718…… 

　　注意，e就是这样被定义出来的。要理解这个极限意味着什么，有一个经常被使用的例子：假如银行每年的利率是100%，并且可以让你随心所欲地无限复利，那么你存入银行1元钱，一年之后最多能够拿回多少钱？（所谓“随心所欲地无限复利”，是说你可以1个月取出本息再存入，也可以1天重存一次，还可以1小时一次，1秒一次，甚至0.0001秒一次……) 

　　答案是，你能拿到的钱的极限就是e≈2.718元。 

　　“e”，代表了自然增长的极限。 

　　有意思的是，如果你把重要极限公式括号里的加号变成减号，那么它就变成了一个新的极限，而这个新极限的值恰好等于1/e。而这个新的极限的含义，也有一个好玩的理解方式： 

　　如果刘慈欣有一个粉丝群，人数是1000人。每次他随机抽1人发一张签名照。如果他连续抽取了1000次，那么有多少人没有收到过照片？ 

　　答案就是1000*1/e≈368个。 

　　这是统计学中的“自助重抽样”问题，不用怀疑，即使对无穷多的人进行无穷多次“自助重抽样”，仍有1/e的人无缘得见照片。 

　　五、5.“e”是全维度空间中的“1” 

　　“e”在人类科学中有极为广泛的应用，在热力学、统计学、信息论、通信工程、甚至经济学社会学当中，到处都能发现它的身影。 

　　有一个有趣的猜测——e之所以无处不在，是因为它是全维度空间的“1”，e这个数值，只是所有维度的“1”在我们这个维度的投影之和。 

　　怎么就突然出现了“全维度空间”？如何理解“所有维度在本维度的投影”？ 

　　这来自于对ex的泰勒展开式的几何直觉：ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+…… 

　　对于这个表达式来说，无论你进行了多少次求导，它永远还是它自身。 

　　我们可以把x可以看作一维，x2可以看作二维，那么xn就是n维。同时，我们把求导视作降维。你会发现xn经过n次降维之后变成了n!，恰好与它降维前下面的那个除数相同，从而使这一项变成了1。 

　　求导可以看作降维，但这个降维是有衰变的，衰变率就是维度数的阶乘分之一，这个结果可以视为该维度在本维度的投影值。如果全部维度的x都投影到本维度，我们就得到了上面那个表达式。而如果x=1，我们就得到了e。 

　　如此说来，e被想象为所有维度的1在本维度的投影之和，似乎有那么点儿道理。 

　　继续放飞思想——刚才大刘抽奖的例子是用概率来解释的，但概率本质是什么？ 

　　这种观点认为：概率在我们这个维度被看作无数次试验的稳定结果，但也可以看作在全维度中试验一次的结果。就拿大刘抽奖来说，某人未被抽到的概率在我们这个维度需要试验无数次才能得到精确值；而在全维度空间，只需要抽一次。因为在所有维度里发生的这次抽奖，会全部按照以上的规律投影到本维度中来，那个投影之和就是e。把本维度发生的事件看作是1，此事件的概率值必然就是1/e。 

　　所以概率其实是个全维度空间的投影问题。e就是1，只不过它不是本地的1，而是全维度空间的1在本地的投影数值。全维度空间的1，在本维度看上去正好就是e那么大。 

　　任何变化过程，都是全维度空间特定结构的形成过程。因此所有描述过程的数学形式，都会含有e的指数模式。 

刊登于《科幻世界》2019年12期