鸦科动物（例如渡鸦和乌鸦）的智慧众所周知。最近，乌鸦甚至被证明具有一种迄今为止动物中罕见的数学能力——掌握空集（数量为零）的概念。图片来源：June Hunter
对于数字的理解常常被认为是人类的一种独特能力，与语言一同作为人类智力的标志，将人类与其他动物区分开来。
但事实并非如此。蜜蜂向花蜜来源飞行的时候会数地标。母狮数着自信的入侵者咆哮的次数，以决定是攻击还是撤退。一些蚂蚁会记录自己的步数；有些蜘蛛会给网到的猎物计数。一种青蛙的整个求偶仪式都建立在数字之上：如果第一只雄性叫唤起来，发出一声呜咽，然后是一个被称为“chuck”的短脉冲音符，那么它的对手会在叫声的最后添加两个“chuck”来回应。第一只青蛙会用三个“chuck”来回应它，然后第二只用四个，以此类推，直到大约六个“chuck”让它们喘不上气为止。
实际上，科学家们研究过的每一种动物，包括昆虫和头足类、两栖类和爬行类、鸟类和哺乳类，都可以区分一组物体的不同数量，或一串声音中的音节数量。它们不只有“大于”或“小于”的认识，而是具备对数量的近似感觉：2与3不同，15与20不同。这种对集合大小的心理表征（mental representation）称为数感（numerosity），意大利特伦托大学（University of Trento）的神经科学家Giorgio Vallortigara说，这似乎是“一种普遍的能力”，而且是一种古老的能力。
现在，研究人员正在从他们的实验动物中发现越来越复杂的数学能力。许多物种表现出抽象能力，可以完成简单的算术，而少数物种甚至表现出对“零”这一数量概念的掌握——这个概念非常矛盾，以至于年幼的孩子有时都难以理解。事实上，实验表明，猴子和蜜蜂都知道如何将零视为一个数量，它们将零放在脑海中的数轴上，就像对待一或二一样。研究人员在6月发表在《神经科学杂志》（Journal of Neuroscience）上的一篇论文中报告，乌鸦也有这种能力。
以上三个物种来自不同的分类组群——灵长类、昆虫和鸟类。这一事实表明，一定程度的数学能力在整个动物王国中多次演化出来。科学家们困惑不解：自然为何赋予如此之多的动物基础的数学能力？有没有可能的线索揭示人类数学能力的深层起源？问题仍然多于答案，但神经科学家和其他专家们已有足够的了解，来修正和拓展对动物认知的看法。即使在“蜜蜂或者甚至是蚂蚁的小小脑袋中，也有一种让生物能够读懂宇宙的语言的机制”，英国伦敦大学学院（University College London）的认知神经科学家Brian Butterworth说，他的著作《鱼会数数吗？》（Can Fish Count）即将出版。
大约120年前，在德国柏林，一匹名叫“聪明的汉斯”（Clever Hans）的马出了名：它似乎会算术，能用蹄子敲出四则运算的答案。但一名心理学研究生很快发现，它其实只是密切关注驯兽师或知道答案的观众，以获得微妙的行为线索。
这一事件加深了人们对于动物数学能力的怀疑，一直持续到今天。例如，一些研究人员假设人类对数量概念具有“真正的”理解，而动物只是看起来能够根据数量来区分不同组的物体，它们实际上依赖于更直观的特征，比如大小或颜色。
乌鸦能注意到自己看见的物体的数量，并且拥有对这些数量有响应的神经元，这使得它们能够区分4个一组的物品和3个或5个一组的物品。图片来源：Courtesy of Andreas Nieder
但过去的二十年间，严格的实验表明，即使大脑很小的动物也表现出不可思议的数学认知的能力。所有的动物都具有一个共同的机制，似乎是一个近似于数感的系统，它在大多数时候是正确的，但有时在特定方面不够精确。大多数动物在区分相差较大的数字时效率更高，因此比较6个点与3个点要比比较6个点与5个点更容易。当两个数字的差相同时，处理较小的数字更加容易，即区分34个和38个物体要比区分4个和8个困难得多。
这些优势和弱点反映在动物的神经活动中。在猴子的前额叶皮质中，研究人员发现了对不同数字选择性响应的神经元。对屏幕上的3个点有反应的神经元，对2和4也有微弱的反应，但对数轴上更远的值（例如1或5）则完全没有反应。（人类也表现出这种模糊的数感。但他们也将数量与特定的数字符号联系起来，不同的神经元组群代表了这些精确的数量。）
这一发现似乎意味着对数字的“感知”是与生俱来的，并且深深植根于包括人类在内的动物的大脑中。“基于对数字的感知，存在着一个非常古老的基础心理物理学定律，”Vallortigara说。
一旦“你意识到几乎每一种动物，或者甚至是每一种动物都有完成数字任务的能力，你就会开始好奇……阈值在哪里？极限又在哪里？”澳大利亚迪肯大学（Deakin University）的博士后研究员Scarlett Howard说，她专注于研究蜜蜂的数字认知。如果动物具有这种自然的、天生的能力，能区分不同的数量，科学家们想要了解这还能发展出什么其他的能力。
首先是算术。几个物种已经证明它们可以完成加减法。2009年，意大利帕多瓦大学（University of Padova）的心理学家、玛丽·斯克沃多夫斯卡-居里行动全球研究员（Marie Skłodowska-Curie Actions global fellow）Rosa Rugani领导的研究团队发现，当孵化数天的小鸡看到两组它们已经形成印痕的物品时，它们倾向于接近数量更大的一组。
然后，团队用屏障遮住物体组，将一些物品从一个屏障后面转移到另一个屏障后面，并让小鸡们观看转移的过程。无论移动多少物品，小鸡们总是选择后面藏着更多物品的屏障。它们似乎在执行类似于加法或减法的计算，以追踪每组隐藏物体的数量变化。它们无需训练就可以做到这一点。“它们自发地处理这些数字，”Rugani说。
刚出壳的小鸡会对面前的物体形成印痕。帕多瓦大学大学心理学家Rosa Rugani证明，形成印痕的小鸡或能用代数方法追踪这些物体的数量。图片来源：Rosa Rugani
野生的猴子也具备类似的能力。科学家们让猴子们看着自己将几片面包放在一个封闭的盒子里，然后定期取出其中一片或几片。猴子看不到还剩下几片，但它们持续地靠近盒子，直到最后一片被取出——这表明它们进行了减法以指示觅食。
而蜜蜂可以学习简单的算术。2019年，Howard和同事们训练蜜蜂注意它们所看到的物体的颜色和数量，然后在蓝色物体的数量上加1，或从黄色物体的数量中减1。例如，如果蜜蜂飞过一个包含三个蓝色物体的迷宫，然后让它们在两个或四个物体之间进行选择，它们总是选择四个的那一组。
“它们能够完成这些任务，因为在自然环境中它们就需要学这么多。”Howard说。没有人知道野生的蜜蜂是否不经训练就会加减法，这种行为从未被观察到，但直到现在，科学家才有了寻找它的理由。尽管如此，蜜蜂已经具备进行计算所需的所有构建模块，并且“它们所处的环境可以成为其训练场”，Howard补充道。
在行为研究中，蜜蜂证明它们具备对数字“零”的理解。经过训练的蜜蜂还能完成简单的数学任务，但目前仍不了解它们在野外是否会使用这种能力。图片来源：Anne Moffat for Quanta Magazine
这些发现激励了研究人员，探索动物中更抽象的数学能力表现形式。2015年，在对小鸡进行算术研究的数年后，Rugani和同事们发现它们会把较小的数值与左侧联系起来，而较大的数值则与右侧相关，就像人类从小到大排列数字一样。“这曾被认为是人类的发明，”澳大利亚皇家墨尔本理工大学（Royal Melbourne Institute of Technology）的视觉科学家Adrian Dyer说，他是Howard的博士生导师，主要进行蜜蜂相关的研究。但它也许“只是我们大脑中处理信息的机制的一部分”。（Dyer正在测试蜜蜂是否也能使用这种数轴。）
昆虫、鸟类和灵长类还能经过训练，将符号与元素的数量联系起来。“我们就像教小学生一样训练蜜蜂：这个符号代表这个数字。”Dyer说，“然后它们就学会了这种联系。”被训练将数量与数字符号联系起来的黑猩猩也可以学习按升序触摸数字。
如今，研究人员正在探索其他种类的数学任务。Rugani和她的团队正在研究猴子是否会将数量均分，以此辨认“中间”的概念。这需要猴子计数并比较数轴上两侧元素的数量。到目前为止，她说：“结果令人印象深刻。”
她和其他学者一次又一次地发现，动物不仅有普遍的、相对简单的数感，越来越多的证据揭示了它们更抽象、复杂的数学认知模式。这就是对于一些神经生物学家来说，当前的重要前沿是探索某些动物对数字抽象的掌握是否已经达到一定程度，足以理解“无”这一模糊的概念。
所有数字都是抽象的。数字“3”可以用来描述三个点，三张椅子或三个人。“拥有数感意味着能够评估集合的大小，与其客体以及它们之间更小的差异无关，”Butterworth说，“当蜜蜂数花瓣时，在某种程度上，每一朵花都不尽相同，例如它们的位置、花瓣的排列。”
但有一个数字与众不同。“零非常特殊，”Rugani说，“它不仅仅是一种感知存在的抽象概念，更是感知不存在。”
即使人类也为零感到困惑：比如年幼的孩子们起初似乎并不把空集视为一个数目。他们将其视为“缺省”，一种独立的分类，与其他数值无关。通常4岁的孩子才能掌握如何数数，而他们一般还要再过2年才能理解零也是一个数。
这是因为以这种方式使用零“需要超越经验世界”，德国图宾根大学（University of Tübingen）的神经生物学家Andreas Nieder说。认识到空集可以被视作一个数目，并且“无”可以用某物来表示。毕竟，“我们不会去买零条鱼”，他说。
图宾根大学的神经生物学家Andreas Nieder研究猴子和乌鸦的大脑如何表征数字，包括零。图片来源：Andreas Nieder
而且，他补充道：“当你回顾数学的历史，你会发现零在我们的文化中也是较晚出现的事物。”历史研究发现，直到约7世纪，人类社会才开始在数学运算中把零作为数字使用。
法国图卢兹大学（University of Toulouse）的认知行为学家Aurore Avarguès-Weber和Howard、Dyer合作研究蜜蜂，他说：“从这种人类的视角出发，零似乎更多地是文化上的概念，而非生物学上的。”
但Nieder怀疑并非如此。他认为，一些动物也许会将零视为一种数目，尽管它们不像人类那样用一个符号来表示它。果然，他的团队在2016年证明，在猴子的前额叶皮质中，有一类神经元偏爱零胜过其他数字。这些动物在使用数字0的时候，犯了一个显而易见的错误：它们更容易将空集与数字1混淆，而较不容易将其与数字2混淆。“它们认为空集或无是数轴上接近于1的数字，”Nieder说。
2018年，Howard、Avarguès-Weber、Dye和同事们在蜜蜂中也发现了相同的行为证据。对Howard来说，这些发现表明“这种数字认知，这种对抽象数字概念的高度理解”是与生俱来的。在整个动物王国中，能够理解零可能是比之前想象的更普遍的特征。
蜜蜂能数地标。在这项研究中，地标是一组黄色帐篷，帮助它们导航到蜜源地。图片来源：Lars Chittka
那项关于蜜蜂的研究引起了人们的注意，不只是因为它表明大脑仅有不到100万个神经元的动物能将零视为一个数目（而人类大脑有860亿个神经元），还因为6亿年前，蜜蜂和哺乳动物就在进化过程中就分道扬镳了。它们的最后一位共同祖先“几乎不能感知任何事物，”Avarguès-Weber说，更遑论计数。Nieder没有参与在昆虫中的研究，根据他的说法，这提示掌握空集和其他数字的能力在两个谱系中独立进化。
“一套完全不同的神经基础……产生了如此高水平的认知能力，”英国谢菲尔德大学（University of Sheffield）的认知科学家HaDi MaBouDi说。不幸的是，到目前为止，研究人员还无法研究蜜蜂在执行数值任务时的神经活动，因而很难将它们运用零的表现与猴子的表现进行比较。为了理解量化“无”的能力如何演化、为何不止一次演化，科学家们意识到他们必须去探索另一种动物的大脑。
所以，Nieder和他的团队转而研究乌鸦，它们与灵长类动物的共同祖先已经消失超过3亿年，并且演化出了非常不同的大脑。鸟类没有前额叶皮层；相反，它们拥有自己的“智能大脑中心”，Nieder说，它具有独特的结构、回路和发育轨迹。
尽管二者差异巨大，研究人员仍发现了熟悉的对零的数学理解：乌鸦更多地把一块白板和一个点的图像弄混，而不是和两个、三个或四个点的图像混淆。执行任务时乌鸦大脑活动的记录现显示，它们大脑中位于皮层（pallium）区域的神经元将零与其他数字一起识别为数目，就像研究人员在灵长类的前额叶皮质中观察到的一样。“从生理学角度来说，它完美地契合。”Nieder说，“在乌鸦的大脑里，我们发现了和猴子的大脑中完全一致的应答和编码类型。”
如此不同的大脑却演化出了相同的神经框架，一种解释是因为对于常见的计算问题，它是一种高效的解决方案。“这其实很令人兴奋，因为这说明它就是最佳方案，”Avarguès-Weber说。关于大脑处理零和其他数字，也许还存在着生理上或其他内部因素的制约。“建立数字编码机制的方式可能非常有限。”Vallortigara说。
尽管如此，仅仅因为乌鸦和猴子看起来在用同样的方式对像零这样的抽象概念进行编码，并不意味着这是唯一的方法。“可能在自然历史、在生物演化的过程中出现了不同的解决方案来执行类似的计算，”Vallortigara说。研究人员必须研究其他动物来寻找到答案。例如，在刚刚发表在《大脑皮层》（Cerebral Cortex）上的一篇论文中，Vallortigara的同事们在斑马鱼中发现了一个与数感相关的大脑区域，不过他们还没有测试该动物评估零的能力。
特伦托大学的神经科学家Giorgio Vallortigar和同事们在斑马鱼中发现了一个与数感相关的大脑区域。图片来源：Courtesy of Giorgio Vallortigara
随着对其数感的基础进一步的理解，蜜蜂也许会带来一些惊喜。在去年发表的一项研究中，MaBouDi和同事们证明，当呈现不超过4个物品时，“熊蜂使用了根本上截然不同的计数策略”。他认为，他们的发现提示蜜蜂掌握数字（包括零）的机制可能确实与迄今为止观察到的完全不同。
然而，关于不同动物大脑的数字抽象能力，更根本的问题不是它如何运作，而是它为何存在。为什么动物必须识别特定的数量？为什么演化反复确保动物不仅能理解4小于5，还要知道“4个正方形”与“4个圆圈”在概念上是相同的？
在Vallortigara看来，一个原因可能是算术最终表现出的非凡的重要性。“动物总是要掌握算术，低级的动物也不例外。”他说，“如果有了对数量的抽象表示，算术就很容易。”抽象的数量信息大大提高了大脑计算的效率。
这或许就是零也被纳入这套系统的原因。如果两个掠食者进入同一个环境，只有一个离开了，这片区域仍旧危险。Rugani猜测，在这种情况下，动物不仅需要学会减法，也要能够认识到零是“先前完成的数字或原始数字减法的结果”，而动物可以把这一过程和特定的环境条件联系起来。对这个例子来说，“无论何时，当你达到最低值——也就是零，这个环境就是安全的。”Rugani说。觅食时，零可以代表搜寻不同地点的需求。
然而Nieder并不认同。他并不认为动物迫切地需要认识到零是一个数字，因为认识到它代表“无”就足够了。“我想，动物并不会在日常生存中把零作为一个数字来使用。”他说。
另一种可能是，对零（以及更多的数字）的理解仅仅是出于大脑认识环境中的视觉对象的需要。2019年，当Nieder和同事们训练一个人工智能网络来识别图像中的物体时，区分物体数量的能力自发地出现了，这似乎是更通用的任务所产生的副产品。
对于Nieder来说，动物表现出来的抽象数字的天赋提示“这些动物的大脑天生具备一些东西……也许正是它构建的演化基础，在我们人类中发展、爆发，形成了对数字0的理解。”
他强调，尽管动物的成绩令人印象深刻，但它们将数量概念化的方式与人类差异巨大。我们并不只是理解数量；我们把它们与任意的数学符号联系起来。“5个对象的集合与数字5不全相同，”Nieder说，“而且空集也与0不同。”
即使动物经过训练，学会将两个物品与符号2联系起来，三个物品与3相关联，“这并不意味着它们能将二者相加，得到2+3=5，”Dyer说，“对于现在的小学生来说，这是一个很简单的数学问题。”但他指出，旨在动物中测试这种符号推理（symbolic reasoning）能力的实验还未开始。
通过更进一步，超越数字并建立一个用于运算的符号系统，人类发展出了数字更精确、更独立的概念，根据特定的规则操纵数量，围绕它们的抽象用途创建了一整套科学——我们称之为数学。
Nieder希望他关于零的工作有助于阐明抽象数字的能力是如何从对其模糊的、现实的理解之中诞生的。他正领导着一项研究，致力于深入探索在人类中符号与非符号的数值表示之间的关系。
Vallortigara、Butterworth和一些同事现在正在与英国伦敦玛丽女王大学（Queen Mary University of London）的分子遗传学家Caroline Brennan合作，以确定数学能力的遗传机制。他们已经确定了可能与人类数学学习障碍，即计算障碍（dyscalculia）有关的基因，并且正在操纵斑马鱼中的等效基因。“我认为，在某种意义上，这个故事的遗传部分是这个领域的未来，”Vallortigara说，“识别关于数字的基因真的是一个突破。”
作者：Jordana Cepelewicz
翻译：魏子豫
编辑：戚译引
引进来源：Quanta Magazine
本文来自：中国数字科技馆
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